已知双曲线和定点P(1，2)，双曲线C的弦AB过P点。

    (1)若P点平分弦AB，求AB所在直线的方程；

    (2)求动弦AB中点M的轨迹方程。

(如图)直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|BN|＝6，建立适当的坐标系。求曲线C的方程。

直线y=kx+1与双曲线x²－y²=1的左支交于A、B两点，直线l经过点(－2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

化简方程x²＋y²－4x＋6y－12＝0，使它在新坐标系中分别满足下列条件，并说明该曲线在新坐标系中的位置特征。

    (1)不含x、y的一次项；

    (2)不含x的一次项及常数项。

过抛物线＝2px的焦点F做倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设△AOB的面积为S(O为原点)。

    (1)用θ，p表示S；

    (2)求S的最小值；若最小值为4时，求此时的抛物线方程。

已知双曲线C₁和椭圆C₂有相同的焦点F₁(－c，0)，F₂(c，0)(c>0)，两曲线在第一象限内的交点为P，椭圆C₂与y轴负方向交点为B，且P、F₂、B三点共线，F₂与的比为1：2，又直线PB与双曲线C₁的另一交点为Q(如图)，若|F₂Q|=，求双曲线C₁，椭圆C₂的方程。

在双曲线=－1的一支上有不同三点A(x₁，y₁)、B(x₂，6)、C(x₃，y₃)与点F(0，5)的距离|AF|、|BF|、|CF|依次成等差数列。

(1)求y₁+y₃的值；

(2)求证线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。　

已知双曲线的渐近线方程为y=±x，并且焦点都在圆x²+y²=100，求双曲线方程。

如下图，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；　　

(3)设Q是椭圆上一点，当QF2AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20，求此时椭圆的方程。

根据下列条件，写出椭圆的方程。

(1)中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8；

(2)和椭圆=36有相同的焦点，且经过点Q(2，－3)；

(3)中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两个端点的视角为直角，且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离是。