求以直线x+2=0为准线，离心率为，恒过定点M(1，0)的椭圆长轴长的最大值，并求长轴最长时的椭圆的标准方程．

如图示，抛物线方程为y²=p(x+1)(p＞0)，直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．

　　(1)求证：直线与抛物线总有两个交点；

　　(2)设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f(m)表达式．

　　(3)在(2)的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的取值范围．

已知双曲线的实轴平行于y轴，离心率为2，它的一个分支过圆(x-1)²+(y-1)²=4的中心，且此分支一侧的焦点在这个圆上，求这个分支顶点的轨迹方程．

某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱检测直径为3cm的圆洞，为了保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱．问：这两个标准圆柱的直径应该是多大?

某机器人从坐标原点O出发，在直角坐标平面xOy的第一象限，x轴正半轴及y轴正半轴的范围之内运动，该机器人在x轴正半轴上的运动速度是2m/s，在平面其他地方运动速度是1m/s，该机器人从原点O出发，在1s内能到达的点的集合形成的图形记为G，将G的边界位于第一象限的部分记为C．

　　(1)求曲线C的轨迹方程；

　　(2)求图形G的面积．

已知k＞0，如图8-5所示，直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx．

　　(1)证明：到l₁、l₂的距离的平方和为定值a(a＞0)的点的轨迹是圆或椭圆；

　　(2)求：到l₁、l₂的距离之和为定值c(c＞0)的点的轨迹．

图8-5

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1，0)，点P在双曲线的右支上，点M(m，0)到直线AP的距离为1，若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围．

已知直线y=2x+1与抛物线y²=9x交于A、B两点，C为抛物线AB弧上一点，求

△ABC的面积的最大值及此时C点的坐标．

已知抛物线C：y=x²-xcosq +2sinq -1，q 为参数，求抛物线在x轴上两截距的平方和的最小值和最大值．

设双曲线(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．