已知函数f(x)＝2^x

(1)试求函数F(x)＝f(x)＋af(2x)，x∈(－∞，0]的最大值；

(2)若存在x∈(－∞，0]，使|af(x)－f(2x)|＞1成立，试求a的取值范围；

(3)当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f(x＋1)≤f[(2x＋a)²]恒成立，求a的取值范围；

已知函数．

(1)判断并证明f(x)的奇偶性；

(2)求证：；

(3)已知a，b∈(－1，1)，且，，求f(a)，f(b)的值．

已知函数f(x)＝lnx－ax²＋(2－a)x．

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)设a＞0，证明：当时，；

(Ⅲ)若函数y＝f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：导数(x₀)＜0．

设关于x的方程x²－(tan＋i)x－(2＋i)＝0，

(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；

(2)证明：对任意≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为(为参数，∈R)．试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．

已知函数，其中a＞0．

(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)在(0，＋∞)的单调性；

(3)若函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为2，求a的取值范围．

在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为(为参数，且0≤≤2π)，点M是曲线C₁上的动点．

(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；

(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos－ρsin＋1＝0(ρ＞0)，求点P到直线l距离的最大值．

已知函数．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间；

(Ⅱ)若，求f(x)的最大值和最小值．

已知

(Ⅰ)化简f(α)；

(Ⅱ)若，，求f(α)的值．

设函数f(x)＝ax²＋lnx．

(Ⅰ)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知a＜0，若函数y＝f(x)的图象总在直线的下方，求a的取值范围；

(Ⅲ)记为函数f(x)的导函数．若a＝1，试问：在区间[1，10]上是否存在k(k＜100)个正数x₁，x₂，x₃…x_k，使得(x₁)＋(x₂)＋(x₃)＋…＋(x_k)≥2012成立？请证明你的结论．