甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束。假定甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，试求下列概率。

    （I）比赛以甲3胜1败而结束的概率；

    （II）比赛以乙3胜2败而结束的概率；

    （III）设甲先胜3次的概率为a，乙先胜3次的概率为b，求a:b的值。

    若一个箱内装有分别标有号码1，2，…，50的50个小球，从中任意取出两个球把其上的号码相加，计算：

    (1)其和能被3整除的概率；

    (2)其和不能被3整除的概率.

某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

   （1）第3次拨号才接通电话；

   （2）拨号不超过3次而接通电话.

　　数列｛a_n｝中，a₁＝a，a_n＋1＋a_n＝3n－54（n∈N）

　　（1）求数列｛a_n｝的通项公式；

　　（2）当时，求

    已知函数f(x)=x⁵+ax³+bx+1.当x=－1，x=1时，取极值，且极大值比极小值大4.

    (1)求a,b的值；

    (2)求f(x)的极大值和极小值.

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.

　　  (I) 求所选3人都是男生的概率；

　　  (II)求所选3人中恰有1名女生的概率；

　　  (III)求所选3人中至少有1名女生的概率.

    已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象的顶点坐标是(,),且f(3)=2.

    (1)求y=f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值；

    (2)数列{a_n}，{b_n}，若对任意的实数x都满足f(x)g(x)+a_nx+b_n=xⁿ+1,n∈N^*，其中g(x)是定义在实数集R上的一个函数，求数列{a_n},{b_n}的通项公式；

    (3)设圆C_n:(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，若圆C_n与圆C_n+1外切，{r_n}是各项都是正数的等比数列.记S_n是前n个圆的面积之和，求(n∈N^*).

    高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验。

（1）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望。

    已知在时有极值0。

    （I）求常数a、b的值；

    （II）求的单调区间。

某射手射击目标，直到击中目标才能停止.若某射手射击到第n次击中目标，设该射手击中目标的概率为P，试求：

　　   （I）射击次数的概率分布列；

    （II）求射击n次的数学期望.