已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．

是否存在常数a、b、c，使得等式1×2²＋2×3²＋3×4²＋…＋n(n＋1)²＝(an²＋bn＋c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

已知数列{a_n}是等差数列，且3a₅＝8a₁₂＞0，数列{b_n}满足b_n＝a_na_n+1a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n项和为S_n，当n多大时，S_n取得最大值？并证明你的结论．

一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1枝铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1枝，最上面一层放120枝，则这个V型架上共放着多少枝铅笔？

等差数列{a_n}中，a₁＜0，S₉＝S₁₂，该数列前多少项的和最小？

已知函数f(x)＝(a、b为常数，a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解．

(1)求f(x)的表达式；

(2)如记x_n＝f(x_n－1)，且x₁＝1，n∈N^*，求x_n．

O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．

(1)若＝a，＝b，＝c，＝h，试用a、b、c表示h；

(2)证明⊥；

(3)若△ABC的∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|．

在直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2)和点Q(cosx，－1)，其中x∈[0，π]，若向量与垂直，求x的值．

已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)．

(1)若·＝－1，求sin2α的值；

(2)若|＋|＝，且α∈(0，π)，求与的夹角．

已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足关系|ka＋b|＝|a－kb|，(k为正实数)

(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；

(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)．