下图是一个计算装置示意图，J₁、J₂是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J₁，J₂分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：

①若J₁、J₂分别输入1，则输出结果1；

②若J₁输入任何固定自然数不变，J₂输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；

③若J₂输入1，J₁输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．

试问：(1)若J₁输入1，J₂输入自然数n，则输出结果为多少？

(2)若J₂输入1，J₁输入自然数m，则输出结果为多少？

(3)若J₁输入自然数m，J₂输入自然数n，则输出结果为多少？

有纯酒精a L(a＞1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行．问第九次和第十次共取出多少升纯酒精？

等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d(d≠1)，且a₁＝b₁，a₄＝b₄，a₁₀＝b₁₀．

(1)求实数a₁和d的值；

(2)b₁₆是不是{a_n}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

已知数列{a_n}满足lga_n＝3n＋5，试用定义证明{a_n}是等比数列．

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2a_n＋1，求证：数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式．

已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．

是否存在常数a、b、c使得等式1×2²＋2×3²＋3×4²＋…＋n(n＋1)²＝(an²＋bn＋c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

已知数列{a_n}是等差数列，且3a₅＝8a₁₂＞0，数列{b_n}满足b_n＝a_na_n+1a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n项和为S_n，当n多大时，S_n取得最大值？并证明你的结论．

如图，一个堆放铅笔的Ｖ型架的最下面一层放1枝铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1枝，最上面一层放120枝，则这个Ｖ型架上共放着多少枝铅笔？

已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝－n²＋n，试求出数列{|a_n|}的前n项和T_n．