设{a_n}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S₁₀＝110且a₁，a₂，a₄成等比数列．

(1)证明a₁＝d；

(2)求公差d的值和数列{a_n}的通项公式．

是否存在一个等比数列{a_n}，使其满足下列三个条件：(1)a₁＋a₆＝11且a₃a₄＝；(2)a_n+1＞a_n(n∈N₊)；(3)至少存在一个m(m∈N₊，m＞4)，使依次成等差数列．若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列．而第3个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台．问该厂第一季度实际生产微机多少台？

若{a_n}是公差d≠0的等差数列，通项为a_n，{b_n}是公比q≠1的等比数列，已知a₁＝b₁＝1且a₂＝b₂，a₆＝b₃．

(1)求d和q；

(2)是否存在常数a，b使对于一切n∈N₊，都有a_n＝log_ab_n＋b成立，若存在则求之，不存在说明理由．

已知a＞0，a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列．令b_n＝a_nlga_n(n∈N₊)，问是否存在a，对任意n∈N₊，数列{b_n}中每一项总小于它后面的一项？若存在，求出a的范围．

已知{a_n}是各项都为正数的等比数列．数列{b_n}满足b_n＝[lga₁＋lga₂＋…＋lga＋lg(ka_n)]．问是否存在正数k，使得{b_n}成等差数列？若存在求出k的值；若不存在请说明理由．

已知{x_n}为各项不为1的正项等比数列，{y_n}满足y_n·＝2(a＞0且a≠1)，设y₄＝17，y₇＝11．

(1)数列{y_n}的前多少项和最大？最大值是多少？

(2)是否存在正整数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求M的取值范围；若不存在，则说明理由．

设二次方程a_nx²－a_n+1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．

(1)试用a_n表示a_n+1；

(2)求证：是等比数列；

(3)当a₁＝时，求数列{a_n}的通项公式．

在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝a_n＋1，求通项a_n．

李政道博士1979年访问中国科技大学，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边五个猴子分一堆苹果，第一个猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二个猴子把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？