在抛物线f(x)＝－x²＋ax与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x₁、x₂．

(Ⅰ)若x₁＜1＜x₂，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证m＞；

(Ⅱ)若|x₁|＜2且|x₁－x₂|＝2，求b的取值范围．

直线y＝mx－3与抛物线C₁：y＝x²＋5mx－4m，C₂：y＝x²＋(2m－1)x＋m²－3，C₃：y＝x²＋3mx－2m－3中至少有一条相交，则m的取值范围是．

下图是二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c的图像，它与x轴交于点(x₁，0)和(x₂，0)，试确定a，b，c以及x₁x₂，x₁＋x₂的符号．

若f(x)＝x²＋bx＋c，不论a 、b 为何实数，恒有f(sina )≥0，f(2＋cosb )≤0．

(Ⅰ)求证：b＋c＝－1；

(Ⅱ)求证：c≥3；

(Ⅲ)若函数f(sina )的最大值为8，求b、c的值．

已知函数f(x)＝x²＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，有f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)＝lg(ax²＋2x＋1)．

(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

当a，b，c具有什么关系时，二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c的函数值恒大于零？恒小于零？

求二次函数f(x)＝－2x²＋6x在下列定义域上的值域：

(1)定义域为{x∈Z|0≤x≤3}；

(2)定义域为[－2，1]．

指出函数y＝－x²＋2|x|＋3的单调区间．