已知数列｛a_n｝满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0）且｛a_n·a_n+1｝是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n－1+a_2n（n=1，2，…）

（Ⅰ）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+2（n∈N^*）成立的q的取值范围；

（Ⅱ）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；

（Ⅲ）设r=2^19．2－1，q=，求数列｛｝的最大项和最小项的值.

设｛a_n｝是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对所有自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.

（Ⅰ）写出数列｛a_n｝的前三项；

（Ⅱ）求数列｛a_n｝的通项公式（写出推证过程）；

（Ⅲ）令b_n=（n∈N^*），求（b₁+b₂+…+b_n－n）

设｛a_n｝是由正数组成的等比数列，S_n是前n项和.

（Ⅰ）证明：＜lgS_n＋1；

（Ⅱ）是否存在常数C＞0使得=lg（S_n+1－C）成立?并证明你的结论.

设A_n为数列｛a_n｝的前n项和，A_n=（a_n－1）（n∈N^*），数列｛b_n｝的通项公式为b_n=4n+3（n∈N）.

（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式；

（Ⅱ）若d∈｛a₁，a₂，a₃，…，a_n，…｝∩｛b₁，b₂，b₃，…，b_n，…｝，则称d为数列｛a_n｝与｛b_n｝的公共项，将数列｛a_n｝｛b_n｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛d_n｝，证明数列｛d_n｝的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）；

（Ⅲ）设数列｛d_n｝中第n项是数列｛b_n｝中的第r项，B_r为数列｛b_n｝的前r项的和，D_n为数列｛d_n｝的前n项和，T_n=B_r+D_n，求.

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：

3tS_n－（2t+3）S_n－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）

（1）求证：数列{a_n}是等比数列；

（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（）（n=2，3，4，…），求数列{b_n}的通项b_n；

（3）求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1.

若A_n和B_n分别表示数列{a_n}和{b_n}前n项的和，对任意正整数n，a_n=－，4B_n－12A_n=13n.

（1）求数列{b_n}的通项公式；

（2）设有抛物线列C₁，C₂，…，C_n，…抛物线C_n（n∈N^*）的对称轴平行于y轴，顶点为（a_n，b_n），且通过点D_n（0，n²+1），求点D_n且与抛物线C_n相切的直线斜率为k_n，求极限.

（3）设集合X={x|x=2a_n，n∈N^*}，Y={y|y=4b_n，n∈N^*}.若等差数列{C_n}的任一项C_n∈X∩Y，C₁是X∩Y中的最大数，且－265<C₁₀<－125.求{C_n}的通项公式.

设正数数列{a_n}为一等比数列，且a₂=4，a₄=16，求.

数列｛a_n｝的前n项和记为S_n．已知a_n＝5S_n－3（n∈N）．求（a₁＋a₃＋…＋a_2n－1）的值.

已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），该数列｛x_n｝由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义.

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表达式；

（Ⅱ）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

（Ⅲ）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

设{a_n}为等比数列，T_n=na₁+（n－1）a₂+…+2a_n－1+a_n，已知T₁=1，T₂=4.

（1）求数列{a_n}的首项和公比；

（2）求数列{T_n}的通项公式.