求数列1，a＋a²，a²＋a³＋a⁴，a³＋a⁴＋a⁵＋a⁶，…的前n项和S_n．

求和1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)ⁿ⁺¹n．

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1＝4a_n＋2(n＝1，2，…)，a₁＝1．

(1)设b_n＝a_n+1－2a_n(n＝1，2，…)，求证{b_n}是等比数列；

(2)设c_n＝(n＝1，2，…)，求证{c_n}是等差数列；

(3)求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

小猴子们分一堆桃子，第一只猴子取走了全部的一半多一只，第二只猴子取走了剩下桃子的一半多一只，以此类推，每一只猴子都取走了上一次剩下的一半多一只．

(1)如果第四只猴子恰好将桃子全部取完，则一共有多少只桃子？

(2)如果第五只猴子恰好将桃子全部取完，则一共有多少只桃子？

(3)如果第n只猴子恰好将桃子全部取完，则一共有多少只桃子？

求和：S_n＝1＋3x＋5x²＋7x³＋…＋(2n－1)x^n－1(x≠0)

求数列，，，…的前n项和．

在等比数列{a_n}中，a₁＋a_n＝66，a₂a_n－1＝128，且前n项和S_n＝126，求n及公比q．

已知等比数列{a_n}中，a₁＝－，S_n＝－，a_n＝－，求公比q及项数n．

从盛满纯酒精的2升容器里倒出1升纯酒精，然后加满水(称为第一次操作)，再倒出1升溶液后又加满水(称为第二次操作)，如此继续下去．

问：(1)第n次操作后溶液的浓度为多少？

(2)至少应操作几次才能使酒精的浓度低于10％？

在等比数列{a_n}中，若a₁＝128，a₈＝1．

(1)求公比q和a₁₂；

(2)证明：依次取出数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，…，所得的新数列{a_3n－2}(n∈N^*)仍然是一个等比数列．