已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

(Ⅰ)建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；

(Ⅱ)过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若(＋λ)·(－λ)＝0，且λ∈[2－，2＋]，求直线l与直线MN夹角的取值范围．

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，－2)，点C满足其中α、β∈R，且α－2β＝1

(1)求点C的轨迹方程；

(2)设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；

(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P(1，0)，且BP∥y轴，△APB的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

设G，Q分别为△ABC的重心和外心，A(0，－1)，B(0，1)，且GQ∥AB．

(Ⅰ)求点C的轨迹E的方程；

(Ⅱ)若l₀是过点P(1，0)且垂直于x轴的直线，是否存在直线l，使得l与曲线E交于两个不同的点M，N，且MN恰被l₀平分？若存在，求出l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型；

(Ⅱ)当动点的轨迹为椭圆时，且该椭圆与直线l：y＝x＋2将于不同两点时，求此椭圆离心率的取值范围．

已知向量且满足，其中O为坐标原点，K为参数．

(Ⅰ)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；

(Ⅱ)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足，求实数K的取值范围．

设椭圆的焦点分别为F₁(－1，0)、F₂(1，0)，右准线l交x轴于点A，且．

(Ⅰ)试求椭圆的方程；

(Ⅱ)过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值

如图，已知A，B，C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且

(1)建立适当的坐标系，求椭圆的方程；

(2)如果椭圆上有两点P，Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

已知圆C方程为：x²＋y²＝4．

(Ⅰ)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；

(Ⅱ)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

将圆x²＋y²－2x＋4y＝0按向量a＝(－1，2)平移后得到⊙O直线l与⊙O相交于A，B两点，若在⊙O上存在点C，使，求直线l的方程及对应的点C的坐标．