(1)已知m，n∈N*，且1＜m＜n，证明(1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m；

(2)设k＞0，函数，．若，都有kf(x₁)≤(1－k)g(x₂)成立，求k的取值范围．

某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位百台)．

(1)写出利润L(x)表示为年产量x的函数；

(2)年产量为多少时，工厂所得的利润最多？

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①；②a_n≤M．其中n∈N*，M是与n无关的常数．

(1)若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃＝4，S₃＝18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；

(2)设数{b_n}的通项为b_n＝5n－2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围．

已知函数y＝asinx＋bcosx＋c的图象上有一个最低点．如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位，可得y＝f(x)的图象．又知f(x)＝3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列．试求f(x)的解析式和单调递减区间．

如图，正三棱锥P－ABC，PA＝4，AB＝2，D为BC中点，点E在AP上，满足AE＝3EP．

(1)建立如图的坐标系，写出A，B，D，E四点的坐标；

(2)求异面直线AD与BE所成角的余弦值．

已知函数f(x)＝ax²＋4x－2满足对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．

(1)求实数a的取值范围；

(2)试讨论函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的零点的个数；

(3)对于给定的实数a，有一个最小的负数M(a)，使得x∈[M(a)，0]时，－4≤f(x)≤4都成立，则当a为何值时，M(a)最小，并求出M(a)的最小值．

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通项满足b_n＝a_n+1－a_n，c_n＝b_n+1－b_n(n∈N*)，若数列{b_n}是一个非零常数列，则称数列{a_n}是一阶等差数列；若数列{c_n}是一个非零常数列，则称数列{a_n}是二阶等差数列．

(Ⅰ)试写出满足条件a₁＝1、b₁＝1、c_n＝1的二阶等差数列{a_n}的前五项；

(Ⅱ)求满足条件(1)的二阶等差数列{a_n}的通项公式a_n；

(Ⅲ)若数列{a_n}首项a₁＝2，且满足c_n－b_n+1＋3a_n＝－2ⁿ⁺¹(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式a_n．

如图F₁(－c，0)，F₂(c，0)为双曲线E的两焦点，以F₁F₂为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M₁、N₁，B是圆O与y轴的交点，连接MM₁与OB交于H，且H是OB的中点，

(1)当c＝1时，求双曲线E的方程；

(2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；

(3)连接F₁M与双曲线E交于点A，是否存在常数恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁的中点．

(1)证明AD⊥D₁F；

(2)求AE与D₁F所成的角；

已知实数a、b、x、y满足a²＋b²＝1，x²＋y²＝3，求ax＋by的最大值．