甲、乙两村合用一个变压器，如图，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？

一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以什么速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

如图所示，水渠横断面为等腰梯形．

(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？

曲线y＝x²＋1上点P处的切线与曲线y＝－2x²－1也相切，求点P的坐标．

求函数f(x)＝x³－x(－1≤x≤1)的单调性、极值及最大(小)值．

求函数y＝sin²ax·cosbx的导数．

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y＝(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．求：

(1)x₀的值；

(2)a，b，c的值．

设g(x)＝x³＋ax²＋bx图象上任一点P(x，y)处切线的斜率为f(x)，且方程f(x)＝0的两根为α、β(a、b∈R)．

(1)若α＝β＋1，且β∈Z，求证：f(－a)＝(a²－1)；

(2)若α、β∈(2，3)，试证明存在整数k，使得|f(k)|≤．

当n∈N^*时，求证：＝n·2^n－1．

求下列函数的导数：

(1)y＝x⁴－3x²－5x＋6；

(2)y＝x·tanx；

(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(4)y＝．