如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知DC＝DD₁＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．

(1)求证：D₁C⊥AC₁；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并证明．

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD

(Ⅰ)求证：AB⊥DE

(Ⅱ)求三棱锥E－ABD的侧面积．

已知一个圆经过直线l：2x＋y＋4＝0和圆C：x²＋y²＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且有最小面积，求此圆的方程．

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．

(Ⅰ)证明AD⊥D₁F；

(Ⅱ)求AE与D₁F所成的角；

(Ⅲ)证明面AED⊥面A₁FD₁．

已知圆C：x²＋y²－6x－4y＋4＝0，直线l₁被圆所截得的弦的中点为P(5，3)．

①求直线l₁的方程．

②若直线l₂：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围．

③是否存在常数b，使得直线l₂被圆C所截得的弦的中点落在直线l₁上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

已知以C(2，0)为圆心的圆C和两条射线y＝±x，(x≥0)都相切，设动直线L与圆C相切，并交两条射线于A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．

求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且过两圆x²＋y²－x＋y－2＝0与x²＋y²＝5交点的圆的方程．

如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°，再在α的上侧，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°．

(1)求证：PQ⊥BD；

(2)求二面角P－BD－Q的余弦值；

(3)求点P到平面QBD的距离．

如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分别为VA、VB、VC的中点．

(1)求证：平面EFG∥平面VCD；

(2)若二面角V－BC－A、V－DC－A依次为45°、30°，VA＝1，求直线VB与平面EFG所成的角的正弦值．