如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是CC₁、B₁C₁、D₁C₁的中点．

求证：(1)AP⊥MN．

(2)平面PMN∥平面A₁BD．

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a且PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD．

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD＝，在侧棱CC₁上截取CE＝a，过A、D、E作棱柱的截面．求证：截面ADE⊥侧面ACC₁A₁．

如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC．求证：OD∥平面PAB．

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC₁＝4，点E在线段BB₁上，且EB₁＝1，D、F、G分别为CC₁、C₁B₁、C₁A₁的中点．

求证：

(1)B₁D⊥平面ABD．

(2)平面EGF∥平面ABD．

过抛物线y＝ax²(a＞0)的顶点O作两条互相垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．

已知点P(x₀，y₀)在曲线f(x，y)＝0上，P也在曲线g(x，y)＝0上，求证：P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．

证明圆心为P(a，b)，半径等于r的圆的方程是(x－a)²＋(y－b)²＝r²．

试证：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0．

证明是无理数．