如图，已知△ABC的两边AB，AC的中点分别为M，N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，用向量方法证明P，A，Q三点共线．

利用向量方法证明△ABC的三条高交于一点．

在△ABC中，设向量，，求证：△ABC的面积S＝．

如图，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，用向量方法证明AC⊥BD．

设O为△ABC中任意一点，D，E，F分别为各边中点，试证．

在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点．

(1)若设＝e₁，＝e₂，试以e₁，e₂为基底表示，，，；

(2)若设＝z₁，＝z₂，试以z₁，z₂为基底表示，，，．

1 kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态(如图)，已知两细绳与水平线分别成30°，60°．这两根细绳各受到多大的力？

一个30°的光滑斜面上放有一个质量为1 kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力？若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为w，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示？保持球在斜面上静止不动的推力又如何表示？(重力加速度g取10 m/s²)

一位模型赛车摇控一辆赛车向正东方向前行进1 m，然后逆时针方向转角度α，继续按直线向前行进1 m，再逆时针方向转角度α，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去．

(1)按1∶50比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为0；

(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个，并按1∶50比例用向量表示位移．

如果|a|＝|b|＝k，那么a＝b成立，求k应满足的条件．