已知非零向量e₁、e₂不共线，如果＝e₁＋e₂，＝2e₁＋8e₂，＝3e₁－3e₂，求证A、B、C、D共面．

用坐标法证明平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和．

A、B是抛物线y²＝2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)．求证：

(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

(2)直线AB经过一个定点．

设A、B是抛物线y²＝2px(x＞0)上不同于顶点的两个点，通过点A与抛物线顶点的直线交准线于点C，且BC∥x轴．证明直线AB经过抛物线的焦点F．

设抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B、C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证线段|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．

由双曲线x²－y²＝a²上一动点P引两渐近线的垂线PQ，PR，试证：矩形PQRO的面积是定值．

已知：p：x²－8x－20＞0，q：x²－2x＋1－a²＞0．若p是q的充分不必要条件，求证实数a的取值范围．

已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0．

已知a、b、c均为实数，证明ac＜0是关于x的方程ax²＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件．