设F₁、F₂分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点A(1，)到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线＝1具有类似特性的性质并加以证明．

设f(x)(x∈[a，b])满足≤f()(其中x₁、x₂为[a，b]上任意两点)，你能将此不等式推广吗？

若a₁、a₂∈R⁺，则有不等式≥()²成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．

三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式．

已知等差数列{a_n}，公差为d，前n项和为S_n，有如下性质：

(1)通项a_n＝a_m＋(n－m)d．

(2)若m＋n＝p＋q，其中m、n、p、q∈N₊，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q．

(3)若m＋n＝2p，m、n、p∈N₊，则a_m＋a_n＝2a_p．

(4)S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n构成等差数列．

类比得出等比数列的性质．

设{a_n}是集合{2^t＋2^s|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，…，将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表．

(1)写出这个三角形数表的第四行与第五行各数；

(2)求a₁₀₀．

已知a、b为正整数，设两直线l₁：y＝bx与l₂：y＝x的交点为P₁(x₁，y₁)，且对于n≥2的自然数，两点(0，b)，(x_n－1，0)的连线与直线y＝x交于点P_n(x_n，y_n)．

(1)求P₁、P₂的坐标．

(2)猜想P_n的坐标公式．

设f(n)＞0(n∈N₊)且f(2)＝4，对任意n₁，n₂∈N₊，有f(n₁＋n₂)＝f(n₁)·f(n₂)恒成立，猜想f(n)的一个表达式．

当n＝1，2，3，4时，试判断2ⁿ与2n－1的大小，并由此推测当n∈N时，2ⁿ与2n－1的大小．

观察圆周上n个点之间所连的弦，发现2个点可以连1条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连成10条弦，由此归纳出什么规律？