已知A、B是椭圆与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大．

抛物线上有一点A，A在x轴上的射影是M，N是AM的中点，NQ与x轴平行且交抛物线于Q，直线MQ交y轴于T．求|OT|∶|AM|的值．

(结论开放题型)已知曲线C的方程为

(1)当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？

(2)当θ为不等于的常数，t为参数时，C是什么曲线？

(3)两曲线有何共同特征？

已知圆：上一点P与双曲线上一点Q，求P、Q两点距离的最小值．

如图所示，由圆上动点M作y轴的垂线，交y轴于N点，设线段MN中点为P，求点P的轨迹方程．

如图所示，在椭圆中内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少．

由线经过伸缩变换F之后，变成随圆，求这个伸缩交换F．

设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于此抛物线轨道的焦点处．当此彗星离地球为d(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，求此彗星与地球的最短距离．

如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，、，(平方单位)，动点P在曲线E(y≥1)上运动，若曲线E过点C且满足|PA|＋|PB|的值为常数．

(1)求曲线E的方程；

(2)设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

如图所示，木工师傅把一块边长为a的正方形铁板ABCD割开，割线是CP，其中P是AD上一点，M是AD的中点，要求|CP|=|AB|＋|AP|，问∠BCP与∠MCD有怎样的关系？怎样切割才满足要求？