三角形中位线是三角形中的重要线段，下面证明一下三角形中位线定理．

如图，已知在梯形中，，AB＝BC，B∥C．

求证：是的中点．

如图，在△ABC中，，平行于BC交AC于点，求证：是AC的中点．

是否存在常数a，b，c使等式1×(n²－1²)＋2(n²－2²)＋…＋n(n²－n²)＝an⁴＋bn²＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．

用数学归纳法证明1＋(n≥2)．

设数列{a_n}满足a₁＝2，a_n+1＝a_n＋(n＝1，2，3，…)

求证：a_n＞对一切正整数n成立．

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式(1＋)(1＋)…(1＋)＞成立．

n²(n≥4，且n∈N₊)个正数排成一个n列的数阵：

其中a_ik(1≤i≤n，1≤k≤n，且i，k∈N₊)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃＝8，a₃₄＝20．

(1)求a₁₁和a_ik；

(2)设A_n＝a_1n＋a_2(n－1)＋a_3(n－2)＋…＋a_n1．

用数学归纳法证明，若f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·f(n)(n≥2，且n∈N₊)．

用数学归纳法证明：

tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N₊)．