如图，以锐角△ABC的三边为边向外作三个等边三角形ABD，BCE，CAG．

求证：△ABD、△BCE、△CAG的外接圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃交于一点．

如图，在锐角△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F．

求证：FG∥BC．

如图，D为△ABC的BC边上一点，⊙O₁经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O₂经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O₁，⊙O₂交于点G．

求证：∠BAC＋∠EGF＝180°，以及∠EAG＝∠EFG．

如图，△ABC的∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点D．

求证：AB＋AC＜2BD．

如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，过A、B两点的圆分别交AD、CB于E、F．

求证：D、E、F、C四点共圆．

求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上．

已知：如下图，四边形ABCD，AC⊥BD，AB、BC、CD、DA四边中点分别为E、F、G、H．

求证：E、F、G、H四点共圆．

证明：如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．

已知：如下图，∠C、∠D在AB同侧，∠C＝∠D．

求证：△ABC和△ABD有公共外接圆．

如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E．

求证：AE·AC＝AF·DE．

如图，⊙O₁、⊙O₂交于点M、N，直线AB过M，于⊙O₁、⊙O₂分别交于点A、B，直线CD过点N，与⊙O₁、⊙O₂分别交于点C、D．求证：AC∥BD．

两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F．若∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF．