设函数f(x)＝x－xlnx．数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1＝f(a_n)．

(Ⅰ)证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

(Ⅱ)证明：a_n＜a_n+1＜1；

(Ⅲ)设b∈(a₁，1)，整数．证明：a_k+1＞b．

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋x＋1，a∈R．

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围．

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．

(Ⅰ)求tanAcotB的值；

(Ⅱ)求tan(A－B)的最大值．

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

下图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)，被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3

(Ⅰ)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁

(Ⅱ)求AB与平面AA₁CC₁所成角的正弦值．

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若，，，且．

(Ⅰ)若△ABC的面积，求b＋c的值．

(Ⅱ)求取值范围．

(理科)已知焦点为F₁(－1，0)，F₂(1，0)的椭圆经过点，直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，其中O为坐标原点．

(Ⅰ)求的范围；

(Ⅱ)若与向量共线，求的值及△AOB的外接圆的方程．

(文科)已知焦点为F₁(－1，0)，F₂(1，0)的椭圆经过点．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设P是椭圆上的点，△PF₁F₂的外接圆为⊙C，求半径最小时⊙C的方程．

已知曲线f(x)＝x²＋2x在点(x₁，f(x₁))处的切线为l．

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)设g(x)＝(x＋a)f(x)，若g(x)在[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)试判断l能否与曲线g(x)＝ln(x＋1)相切？并说明理由．

某选手在电视抢答赛中答对每道题的概率都是，答错每道题的概率都是，答对一题积1分，答错一题积－1分，答完n道题后的总积分记为S_n．

(Ⅰ)答完2道题后，求同时满足S₁＝1且S₂≥0的概率；

(Ⅱ)答完5道题后，求同时满足S₁＝1且S₅＝1的概率；

(Ⅲ)答完5道题后，设ξ＝|S₅|，求ξ的分布列及其数学期望．