某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？

函数f(x)的定义域为D＝{x|x＞0}，满足：对于任意m，n∈D，都有f(mn)＝f(m)＋f(n)，且f(2)＝1．

(1)求f(4)的值；

(2)如果f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求x的取值范围．

在实数集R上定义运算：x○×y＝x(a－y)(a∈R，a为常数)．若f(x)＝e^x，g(x)＝e^－x＋2x²，F(x)＝f(x)○×g(x)．

(Ⅰ)求F(x)的解析式；

(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若a＝－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂．

(Ⅰ)求双曲线上满足的点P的坐标；

(Ⅱ)椭圆C₂的左、右顶点分别是双曲线C₁的左、右焦点，椭圆C₂的左、右焦点分别是双曲线C₁的左、右顶点，若直线与椭圆恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为坐标原点)，求k的取值范围．

已知等差数列{a_n}，公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²－12x＋27＝0的两个根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．

(Ⅰ)求数列{a_n}的前n项和S_n；

(Ⅱ)求{b_n}的通项公式．

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD．

(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PCD；

(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

已知函数．

(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期；

(Ⅱ)求使f(x)≥2的x的取值范围．

下图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3．

(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求二面角B―AC―A₁的大小；

(3)求此几何体的体积．

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．

(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．

已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a²＋2b²＋3c²＋6d²＝5．试求实数a的取值范围．