已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有成立．

(1)证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；

(2)探究a_n与的大小，并证明你的结论．

甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任意取一张，用ξ₁，ξ₂分别表示甲、乙取得的卡片上的数字．

(1)求概率P(ξ₁＞ξ₂)；

(2)记，求η的分布列与数学期望．

求直线(t为参数)被曲线所截的弦长．

已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4)，求矩阵M．

如图，ABCD是边长为a的正方体，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点P，延长CP交AB于M．

求证：(1)M是AB的中点；

(2)求线段BP的长．

已知函数f(x)＝2x＋alnx．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求a的范围

(2)若a＜0，对于任意两个正数x₁、x₂总有：

(3)若存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≤(a＋3)x－x²成立，求实数a的取值范围

已知点列B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，…，B_n(n，y_n)，…(n∈N^*)顺次为直线上的点，点列A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…，A_n(x_n，0)，…(n∈N^*)顺次为x轴上的点，其中x₁＝a(0＜a＜1)，对任意的n∈N^*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．

(1)证明：数列{y_n}是等差数列；

(2)求证：对任意的n∈N^*，x_n+2－x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；

(3)若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有正三角形，若有，求出实数a

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．

(1)求P点坐标；

(2)求证直线AB的斜率为定值；

(3)求△PAB面积的最大值．

已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t(单位时间)之间的关系为y＝f(t)＝，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任务有如下两组数据：t＝4，y＝50％；t＝8，y＝80％．

(1)试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f(t)；

(2)若定义在区间[x₁，x₂]上的平均学习效率为，问这项学习任务从哪一刻开始的2个单位时间内平均学习效率最高．

如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝3，AC＝AB＝4，PB＝PC＝BC＝5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF∶FC＝3∶1．

(Ⅰ)求证：PA⊥BC；

(Ⅱ)试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；