已知各项为正数的等比数列{a_n}(n∈N⁺)的公比为q(q≠1)，有如下真命题：若，则(其中n₁、n₂、p为正整数)．

(1)若，试探究与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；

(2)对(1)中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．

已知数列{a_n}和{b_n}满足：

a₁＝λ，其中λ为实数，n为正整数．

(Ⅰ)对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；

(Ⅱ)对于给定的实数λ，试求数列{b_n}的前n项和S_n；

(Ⅲ)设0＜a＜b，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为．

(1)试求无穷等比子数列{a_3k－1}(k∈N^*)各项的和；

(2)是否存在数列{a_n}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；

(3)试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

观察数列：

①1，－1，1，－1…；

②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；

③

(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a_n}，如果________，对于一切正整数n都满足________成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列；

(2)若数列{a_n}满足a_n+2＝a_n+1－a_n，n∈N⁺，S_n为{a_n}的前n项和，且S₂＝2008，S₃＝2010，证明{a_n}为周期数列，并求S₂₀₀₈；

(3)若数列{a_n}的首项，且a_n+1＝2a_n(1－a_n)，n∈N^*，判断数列{a_n}是否为周期数列，并证明你的结论．

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)在集合M＝{m|m＝2k，k∈Z，且1000≤k＜1500中，是否存在正整数m，使得不等式对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；

(3)请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得存在，并求出这个极限值．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点都在函数的图象上．

(1)求a₁，a₂，a₃的值，并求通项a_n；

(2)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值；

(3)设A_n为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)＝－lnx，x∈(0，e)，曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．

设数列{a_n}的首项a₁＝1，前n项和S_n满足关系式tS_n－(t＋1)S_n－1＝t(其中t为大于0的常数，n∈N^*，n≥2)．

(1)求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)设数列{a_n}的公比为f(t)，构造数列{b_n}，使b₁＝1，(n∈N^*，n≥2)，求数列{b_n}的通项公式

如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

(1)证明：AB⊥平面VAD；

(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的大小．

已知函数f(x)＝x－ln(x＋m)在定义域内连续．

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)当m为何值时，f(x)≥0恒成立？