设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n＝＋n，a_n＞0(n∈N*)

(Ⅰ)求a₁，a₂，a₃

(Ⅱ)猜想{a_n}的通项公式，并加以证明；

(Ⅲ)设，求证：

如下图，已知四棱锥P―ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．

(Ⅰ)证明：AE⊥PD；

(Ⅱ)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E－AF－C的余弦值．

设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c的极值点的个数．

(Ⅰ)求函数f(x)有极值的概率；

(Ⅱ)求的分布列和数学期望；

(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，函数f(x)有极值的概率．

已知函数f(x)＝ax＋lnx，x∈(1，e)，且f(x)有极值．

(1)求实数a的取值范围：

(2)求函数f(x)的值域；

(3)函数g(x)＝x³－x－2，证明：，使得g(x₀)＝f(x₁)成立．

已知点P(4，4)，圆C：(x－m)²＋y²＝5(m＜3)与椭圆E：(a＞b＞0)有一个公共点A(3，1)，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程；

(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

{a_n}是首项a₁＝4的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝log₂|a_n|(n≥1，n∈N)，设T_n为数列的前n项和，求证：T_n＜．

如图，△ABC与△ABP是边长为1的正三角形，F为PC中点，且PO⊥OC，OE⊥PB．

(1)求证：平面POC⊥平面ABC

(2)求证：PC⊥平面ABF

(3)求三棱锥E－OCF的体积；

2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现

有6个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

从中随机地选取3只．

(Ⅰ)求选取的3只全是妮妮的概率：

(Ⅱ)若选取到奥运会吉祥物欢欢得3分，选取到奥运吉祥物迎迎的2分，选取到奥运吉样物妮妮的1分，求最后得分为5分的概率．

设函数f(x)＝．

(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．

(1)将极坐标方程化为普通方程；

(2)若点P(x，y)在该圆上，x＋y的最大值和最小值．