设数列{a_n}(n＝1，2…)是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．

(1)若a₁＝4，d＝2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？

(2)设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d＝1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由；

(3)试问：数列{a_n}为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．

设P(a，b)(a·b≠0)、R(a，2)为坐标平面xoy上的点，直线OR(O为坐标原点)与抛物线y²＝x交于点Q(异于O)．

(1)若对任意ab≠0，点Q在抛物线y＝mx²＋1(m≠0)上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；

(2)若点P(a，b)(ab≠0)在椭圆x²＋4y²＝1上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；

(3)对(1)中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足|OA|·|OB|＝1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．

已知函数f(x)＝

(1)判断并证明y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上的单调性；

(2)若存在x₀，使f(x₀)＝x₀，则称x₀为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x₀；

(3)若f(x)＜2x在x∈(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

(如图)已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，M为棱A₁B₁上的点，N为棱BB₁的中点，异面直线AM与CN所成角的大小为arccos，求的值．

在△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，已知∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(＋1)，求△ABC的面积S_△ABC．

从数列{a_n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a_n}的一个子数列．

设数列{a_n}是一个首项为a₁、公差为d(d≠0)的无穷等差数列．

(1)若a₁，a₂，a₅成等比数列，求其公比q．

(2)若a₁＝7d，从数列{a_n}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a_n}的无穷等比子数列，请说明理由．

(3)若a₁＝1，从数列{a_n}中取出第1项、第m(m≥2)项(设a_m＝t)作为一个等比数列的第1项、第2项．求证：当t为大于1的正整数时，该数列为{a_n}的无穷等比子数列．

已知椭圆C：(a＞b＞0)，其左、右焦点分别为F₁(－c，0)、F₂(c，0)，且a、b、c成等比数列．

(1)求的值．

(2)若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F₁AB＝90°．

(3)若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

如图，反比例函数y＝f(x)(x＞0)的图像过点A(1，4)和B(4，1)，点P(x，y)为该函数图像上一动点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D．记四边形OCPD(O为坐标原点)与三角形OAB的公共部分面积为S．

(1)求S关于x的表达式；

(2)求S的最大值及此时x的值．

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．

(1)求棱A₁A的长；

(2)若A₁C₁的中点为O₁，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．

已知关于x的实系数一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个虚根x₁，x₂，且(1－3ai)i＝c－(i为虚数单位)，|x₁－x₂|＝1，求实数b的值．