设椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

(1)求曲线C₁，C₂的标准方程；

(2)设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且．请问是否存在直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)＝x²＋alnx．

(1)当a＝－2e时，求函数f(x)的单调区间和极值．

(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝．当n≥2且n∈N^*时，点(S_n－1，S_n)在直线y＝2x＋上，数列{b_n}满足b_n＝loga_n(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)设数列的前n项和为T_n．求T_n．

如图所示，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB＝2BC，AC＝AA₁＝BC．

(1)证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；

(2)若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5．同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个朝下的面上的数字之和．

(1)求事件“m不小于6”的概率；

(2)“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论．

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边m＝(2a＋c，b)，n＝(cosB，cosC)，且m·n＝0．

(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sinxcosxcos(A＋C)－cos2x，求函数f(x)的最小正周期，最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，P为椭圆上一动点．F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程；

(3)作C₂的切线l交C₁于O、R两点，求证：

已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝，且[3＋(－1)ⁿ]a_n+2＝2a_n－2[(－1)ⁿ－1](n＝1，2，3，…)

(1)求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；

(2)令b_n＝a_2n－1·a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

已知函数f(x)＝xln(1＋x)－a(x＋1)，其中a为实常数．

(1)当x∈[1，＋∞)时，恒成立，求a的取值范围；

(2)求函数的单调区间．

甲、乙两人进行摸球游戏，每次摸取一个球，一袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球，规则如下：若摸到红球，将此球放入袋中可继续再摸；若摸到黑球，将此球放入袋中则由对方摸球．

(1)求在前四次摸球中，甲恰好摸到两次红球的概率；

(2)设随机变量ξ表示前三次摸球中甲摸到红球的次数，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．