已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋a(x＋1)²(a＜0且a为常数)在x＝1处有极大值．

(Ⅰ)试确定实数a的值；

(Ⅱ)判断方程f(x)＝0在区间(0，3)内实数根的个数并说明理由．

已知数列{a_n}与圆C₁：x²＋y²－2a_nx＋2a_n+1y－1＝0和圆C₂：x²＋y²＋2x＋2y－2＝0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．

(Ⅰ)求证：数列{a_n}是等差数列；

(Ⅱ)若a₁＝－3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，a_n+1＝3S_n(n∈N^*)．

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若b_n＝log₄a_n，试比较b₁＋b₂＋……＋b_n与的大小．

若对满足＞1的任意实数x，使得不等式2x³＋3x²≥6(6x＋a)恒成立，求实数a的取值范围．

以F₁(0，－1)，F₂(0，1)为焦点的椭圆C过点P(，1)．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点S(－，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xlna(a＞0，a≠1)．

(Ⅰ)当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(Ⅱ)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值．

已知{a_n}是首项为19，公差为－2的等差数列，S_n为{a_n}的前n项和．

(Ⅰ)求通项a_n及S_n；

(Ⅱ)设{b_n－a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

已知数列{a_n}与圆C₁：x²＋y²－2a_nx＋2a_n+1y－1＝0和圆C₂：x²＋y²＋2x＋2y－2＝0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．

(Ⅰ)求证：数列{a_n}是等差数列；

(Ⅱ)若a₁＝－3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，a_n+1＝3S_n(n∈N^*)．

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若b_n＝log₄a_n，求b₁＋b₂＋……＋b_n的值．

若对任意x∈(1，3)的实数，使得不等式2x³＋3x²≥6(6x＋a)恒成立，求实数a的取值范围．