选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F．

(Ⅰ)求的值；(4分)

(Ⅱ)若△BEF的面积为S₁，四边形CDEF的面积为S₂，求S1∶S₂的值．

已知函数f(x)＝alnx(x－1)²－ax(常数a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)设a＞0．如果对于f(x)的图象上两点P₁(x₁，f(x₁))，P₂(x₂，f(x₂))(1＜x₁＜x₂)，存在x₀∈(x₁，x₂)，使得f(x)的图象在x＝x₀处的切线m∥P₁P₂，求证：．

已知F₁，F₂分别为椭圆的上下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²＝4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|＝．

(1)求椭圆C₁的方程；

(2)已知点P(1，3)和圆O：x²＋y²＝b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足且λ≠±1．

求证：点Q总在某定直线上．

如图，在三棱拄ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知

(1)求证：C₁B⊥平面ABC；

(2)当E为CC₁的中点时，求二面角A－EB₁－A₁的平面角的正切值．

某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：

学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？

(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D处．(假设游船匀速行驶)

(1)求该船行使的速度(单位：米/分钟)

(2)又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远．

已知不等式x＋|x－2c|＞1

(1)当c＝1时，解此不等式．

(2)若不等式的解集为R，求正实数c的取值范围．

已知直线l经过定点P(－3，－)与圆C：(为参数)相交于AB两点．

(1)若|AB|＝8，求直线l的方程；

(2)若点P()为弦AB的中点，求直线AB的方程．

如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB

(1)求证：AD⊥CD

(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长

已知三点A(－1，0)，B(1，0)，C(－1，)，以AB为焦点的椭圆经过点C

(1)求椭圆的方程

(2)设点D(0，1)，是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，使，若存在，求出直线l斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．