如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面A₁B₁C₁D₁是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．

(Ⅰ)证明：BD⊥EC₁；

(Ⅱ)如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC₁，求AA₁的长．

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；

(Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3]内的概率；

(Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．

设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．

对于数集X＝{－1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y＝＝{|＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得·＝0，则称X具有性质P．例如{－1，1，2}具有性质P．

(1)若x＞2，且{－1，1，2，x}具有性质P，求x的值；

(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁＝1；

(3)若X具有性质P，且x₁＝1、x₂＝q(q为常数)，求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式．

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²－y²＝1．

(1)过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

(2)设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²＋y²＝1相切，求证：OP⊥OQ；

(3)设椭圆C₂：4x²＋y²＝1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．

(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求

救援船速度的大小和方向；

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

已知函数f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；

(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1，2])的反函数．

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，，PA＝2，求：

(1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．

(Ⅰ)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．