已知曲线C₁的极坐标方程为ρ＝4sin，曲线C₂的极坐标方程为＝(ρ∈R)，曲线C₁，C₂相交于点M，N．

(1)将曲线C₁，C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求线段MN的长．

如图，已知△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE．若CD＝，∠ACB＝30°，分别求AB，OE的长．

设函数f(x)＝lnx－ax²－bx

(1)若x＝1是f(x)的极大值点，求a的取值范围．

(2)当a＝0，b＝－1时，函数F(x)＝f(x)－λx²有唯一零点，求正数λ的值．

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x＝9

于G点，直线MB交直线l于H点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．

(Ⅰ)求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC；

(Ⅱ)证明，无论N点在BC边上何处，都有PN⊥AM；

(Ⅲ)当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45°．

甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．

(Ⅰ)如下图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a＝l．b＝0；如果乙获胜，则输人a＝0，b＝1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？

(Ⅱ)求p的值；

(Ⅲ)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和Eξ．

已知，数列{a_n}的首项a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)(n∈N^*)

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2012的最小正整数n．

设函数f(x)＝ax－lnx－3(a∈R)，g(x)＝．

(Ⅰ)若函数 g(x)的图象在点(0，0)处的切线也恰为f(x)图象的一条切线，求实数a的值；

(Ⅱ)是否存在实数a，对任意的x∈(0，e]，都有唯一的x₀∈[e^－4，e]，使得f(x₀)＝g(x)成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．注：e是自然对数的底数．

已知椭圆C：(a＞0，b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．又设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)证明：直线AE与x轴相交于定点Q，并写出该定点坐标；

(Ⅲ)求·的取值范围．

若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE＝a(如图)．

(Ⅰ)若a＝2，求证：AB∥平面CDE；

(Ⅱ)求实数a的值，使得二面角A－EC－D的大小为60°．