已知函数f(x)＝xlnx．

⑴讨论函数f(x)的单调性；

⑵对于任意正实数x，不等式f(x)＞kx－恒成立，求实数k的取值范围；

⑶是否存在最小的正常数m，使得：当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f(a＋x)＜f(a)·e^x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

已知F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，M，N分别为其左右顶点，过F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足．

(1)求此椭圆的方程；

(2)当直线l绕着焦点F₂旋转但不与x轴重合时，求的取值范围．

已知四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面积ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝DD₁＝2AB＝2．

(1)求证：AD₁⊥B₁C；

(2)求二面角A₁－BD－C₁的正弦值；

(3)求四面体A₁BDC₁的体积．

2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率．某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：

(1)求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩近似整数值)；

(2)从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率；

(3)假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记ζ表示其中贷款年限不超过20年得人数，求Eζ．

已知函数的图象过坐标原点O，且在点(－1，f(－1))处的切线的斜率是－5．

(Ⅰ)求实数b、c的值；

(Ⅱ)求f(x)在区间[－1，2]上的最大值；

(Ⅲ)对任意给定的正实数a，曲线y＝f(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是(1，0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点Q(4，0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．

(ⅰ)求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；

(ⅱ)求△OA₁B面积的取值范围．

如图，已知ABCD为平行四边形，∠A＝60°，AF＝2FB，AB＝6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面BCEF；

(Ⅱ)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；

(Ⅲ)求三棱锥N－ABF的体积．

设函数f(x)＝sin²x－sin(2x－)．

(1)求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，f()＝，若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

不等式选讲已知关于x的不等式＋＜m对于任意的x∈[－1，2]恒成立

(Ⅰ)求m的取值范围；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数f(m)＝m＋的最小值．

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为、，曲线C的参数方程为为参数)．

(Ⅰ)求直线AB的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．