已知椭圆过点(0，1)，且离心率为．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)A₁，A₂为椭圆C的左、右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A₁，A₂的动点，直线A₁P，A₂P分别交直线l于E，F两点．证明：|DE|·|DF|恒为定值．

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，

(Ⅰ)求证：PD⊥AC；

(Ⅱ)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E－BD－A的大小为45°．若存在，试求的值，若不存在，请说明理由．

设函数f(x)＝ax²＋bx＋clnx，(其中a，b，c为实常数)

(Ⅰ)当b＝0，c＝1时，讨论f(x)的单调区间；

(Ⅱ)曲线y＝f(x)(其中a＞0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝3x－3，

(ⅰ)若函数f(x)无极值点且(x)存在零点，求a，b，c的值；

(ⅱ)若函数f(x)有两个极值点，证明f(x)的极小值小于－．

已知数列{a_n}的首项a₁＝1，a₂＝3，前n项和为S_n，且，(n≥2，n∈N^*)，设b₁＝1，b_n+1＝log₂(a_n＋1)＋b_n．

(Ⅰ)判断数列{a_n＋1}是否为等比数列，并证明你的结论；

(Ⅱ)设，证明：；

(Ⅲ)对于(Ⅰ)中数列{a_n}，若数列{l_n}满足l_n＝log₂(a_n＋1)(n∈N^*)，在每两个l_k与l_k+1之间都插入2^k－1(k＝1，2，3，…k∈N^*)个2，使得数列{l_n}变成了一个新的数列{t_p}，(p∈N^*)试问：是否存在正整数m，使得数列{t_p}的前m项的和T_m＝2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

已知椭圆方程为，其下焦点F₁与抛物线x²＝－4y的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与y轴垂直时，．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求过点O、F₁(其中O为坐标原点)，且与直线(其中c为椭圆半焦距)相切的圆的方程；

(Ⅲ)求＝时直线l的方程，并求当斜率大于0时的直线l被(II)中的圆(圆心在第四象限)所截得的弦长．

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．

(Ⅰ)求证：直线AB₁⊥平面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A－A₁D－B的大小正弦值；

(Ⅲ)当＝λ时，异面直线DE和AC所成的角为90°时，求CE的长．

盒内有大小相同的10个球，其中3个红色球，3个白色球，4个黑色球．

(Ⅰ)现从该盒内任取3个球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．设三个球得分之和ξ，求ξ的分布列与数学期望；

(Ⅱ)甲乙两人做摸球游戏，设甲从该盒内摸到黑球的概率是，乙从该盒内摸到黑球的概率是，甲，乙两人各摸球3次，求两人共摸中2次黑球的概率．

已知函数，其中a为实数．

(Ⅰ)当时，求函数f(x)的极大值点和极小值点；

(Ⅱ)若对任意a∈(2，3)及x∈[1，3]时，恒有ta²－f(x)＞成立，求实数t的取值范围．

(Ⅲ)已知g(x)＝a²x²＋ax＋1，m(x)＝x³－(a²＋)x²＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，设函数是否存在a，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂(x₂≠x₁)，使得(x₂)＝(x₁)成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F₁与抛物线y²＝－4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求过点F₁、O(O为坐标原点)，并且与直线(其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距)相切的圆的方程；

(Ⅲ)求＝时直线l的方程．

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．

(Ⅰ)求证：直线BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求直线PB与平面PAD所成角的正切值；

(Ⅲ)已知M在线段PC上，且BM＝DM＝2，CM＝3，求二面角B－MC－D的余弦值．