已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(Ⅰ)求证：MN//平面PAD；

(Ⅱ)当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD

(几何证明选讲)如图△ABC内接于⊙O，MN切⊙O于M交AC延长线于N，且MN∥BC，BC、AM交于P

求证：MC²＝BP＝MN．

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N、G分别是A₁A，D₁C，AD的中点．求证：

(Ⅰ)MN//平面ABCD；

(Ⅱ)MN⊥平面B₁BG．

如图，在三棱柱BCE－ADF中，四边形ABCD是正方形，DF⊥平面ABCD，M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一点．

(1)求证：GN⊥AC；

(2)若FG＝GD，求证：GA∥平面FMC．

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁＝0，a_n+1²＋a_n+1－1＝a_n²(n∈N^*)．记：

S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n．．

求证：当n∈N^*时，

(Ⅰ)a_n＜a_n+1；

(Ⅱ)S_n＞n－2；

(Ⅲ)T_n＜3．

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．

(Ⅰ)证明：OM·OP＝OA²；

(Ⅱ)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM＝90°．

在等式cos2x＝2cos²x－1(x∈R)的两边求导，得：，由求导法则，得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，化简得等式：sin2x＝2cosx·sinx．

(1)利用上题的想法(或其他方法)，结合等式(x∈R，正整数n≥2)，证明：．

(2)对于正整数n≥3，求证：

(i)；

(ii)；

(iii)．

用数学归纳法证明：l³＋2³＋3³＋…＋n³＝n²(n＋1)²(n∈N^﹡)．

已知a，b，c为正数，且满足acos²＋bsin²＜c，

求证：．

(不等式证明选讲)若，证明