如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点．

(Ⅰ)求证：AC⊥BC₁；

(Ⅱ)求证：AC₁∥平面CDB₁．

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求证：

(1)AC₁⊥BD；

(2)平面AC₁D⊥平面A₁BD．

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n+1＝S_n(n＝1，2，3，…)．

证明：(1)．数列{}是等比数列；

(2)．S_n+1＝4a_n．

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．

(Ⅰ)求证：PA∥平面BDF；

(Ⅱ)求证：BD⊥平面PAC．

证明(1)已知＝1，求证3sin2α＝－4cos2α

(2)已知数列，，，…，，…，计算S₁，S₂，S₃，由此推算S_n的公式，并用数学归纳法给出证明．

选修4－5：不等式选讲

(Ⅰ)已知x，y都是正实数，求证：x³＋y³≥x²y＋xy²；

(Ⅱ)已知a，b，c都是正实数，求证：a³＋b³＋c³≥(a²＋b²＋c²)(a＋b＋c)．

设n为大于1的自然数，求证：＋＋＋…＋＞．

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：

(1)∠AED＝∠AFD；

(2)AB²＝BE·BD－AE·AC．

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC，CD的中点．求证：

(1)EF∥平面PBD；

(2)平面PEF⊥平面PAC．

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁＝C₁E＝BC＝AB＝1．

(Ⅰ)求证：D₁E∥平面ACB₁；

(Ⅱ)求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；