对于实数，定义运算“”：，设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．

某不法商人将手机按原价提高40%，然后在广告中“大酬宾，八折优惠”，结果每台手机比进货原价多赚了270元，那么每台手机的原价为________元．

在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(－a, －b)在函数的图象上, 那么称[A, B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数
关于原点的中心对称点的组数为_____________

对于以下结论：
①.对于是奇函数，则；
②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；
③.若，，则在上的投影为；
④.(为自然对数的底)；
⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.
其中，正确结论的序号为__________________.

若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是                 ．

已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是_______________．

已知，则的增区间为_______________．

对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；②；③若都有 成立；
则称函数为函数．
下面有三个命题：
（1）若函数为函数，则；（2）函数是函数；
（3）若函数为函数，假定存在，使得，且， 则；        其中真命题是________．（填上所有真命题的序号）

已知函数的定义域为，部分对应值如表.
的导函数的图象如图所示.下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点.其中真命题的个数是     .

已知为上的偶函数，对任意都有且当， 时，有成立，给出四个命题：
①
②直线是函数的图像的一条对称轴
③函数在上为增函数
④函数在上有四个零点
其中所有正确命题的序号为___________.