已知函数．
（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；
（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x₀；如果不存在，请说明理由．

已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.

已知函数.
（Ⅰ）设，求的最小值；
（Ⅱ）如何上下平移的图象，使得的图象有公共点且在公共点处切线相同.

设函数.
(Ⅰ)求函数单调递增区间；
(Ⅱ)当时，求函数的最大值和最小值.

设函数；
(Ⅰ)求证：函数在上单调递增；
(Ⅱ)设，若直线PQ∥x轴，求P,Q两点间的最短距离.

定义在上的函数同时满足以下条件：
①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②是偶函数；
③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数＝的解析式；
(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围.

已知函数，且是函数的一个极小值点.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

已知函数.
（1）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；
（2）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.

如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.

（Ⅰ）求关于的函数关系式？
（Ⅱ）求圆柱形罐子体积的最大值.

已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在处取得极小值，且，求实数的取值范围.