已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]时，求证：f（x₁）﹣f（x₂）≥ln2+．

设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，求函数在上的最小值.

设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点、，求证：.

已知函数，，
(Ⅰ)若，求函数的极值；
(Ⅱ)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

已知.
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.

已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：当时，.

已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．

已知函数，；
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；
(3)令，是否存在实数，当 (是自然对数的底数)时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

已知函数．
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试解答下列两小题．
（i）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（ii）若是两个不相等的正数，且以，求证：．

若函数（为实常数）.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设.
①求函数的单调区间；
②若函数的定义域为，求函数的最小值.