已知数列 ，满足数列的前项和为，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；           
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：当时，．

已知点是函数且的图像上一点，等比数列的前项的和为；数列的首项为，且前项和满足.
求数列和的通项公式；
若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？

已知数列的前n项和为，点在直线上.数列{bn}满足，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前n和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.

在数列中，， 且．
（1）求，的值；
（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（3）求数列的前项和．

知数列的首项前项和为，且
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数,并比较与的大小.

(本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，等比数列中，，，是公比为64的等比数列．
(Ⅰ)求与；   
(Ⅱ)证明：.

设数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列的每两项之间按照如下规则插入一些数后，构成新数列：与两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，其公差为，求数列的前项和为.

已知为数列的前项和，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

已知数列满足：且.（1)求数列的前三项；（2）是否存在一个实数，使数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）求数列的前项和.

已知数列的前n项和为，且=－n+20n，n∈N．
(Ⅰ)求通项；
(Ⅱ)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n项和．