设数列满足： 
（I）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
（II）若,求数列的前项和.

设数列满足：点均在直线上.
（I）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（II）若,求数列的前项和.

已知等差数列和公比为的等比数列满足：，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，且对任意均有成立，试求实数的取值范围．

设函数，数列前项和，，数列，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： 。

数列满足，且.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若，设数列的前项和为，求证：.

数列满足，且.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 令，当数列为递增数列时，求正实数的取值范围.

甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制
成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千
克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A
中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．
（1）证明：是一个常数；
（2）求与的关系式；
（3）求的表达式．

已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为,数列的前项和为,点均在函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数.

数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

已知数列的前项和，满足：.
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若数列的满足，为数列的前项和，求证：.