已知数列的前项和为，满足，
（1）令，证明：；
（2）求数列的通项公式。

正项数列前项和满足且成等比数列，求．

设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②．
（1）若等比数列为 ()阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为：
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且，
(1)求,的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：；
(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和，求证：．

已知数列中，，满足。
(1)求证：数列为等差数列;
(2)求数列的前项和.

已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.

设数列满足，其中为实数，且，
（1）求证：时数列是等比数列，并求；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有.

已知数列为正常数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设
（3）是否存在正整数M，使得恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由。

已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q（）的等比数列.若
(Ⅰ)求数列，的通项公式；     
(Ⅱ)设数列对任意自然数n均有，求 的值；
(Ⅲ)试比较与的大小.

是等差数列，公差，是的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)令=，求数列的前项之和.