已知各项均为正数的数列满足：。
（1）求的通项公式
（2）当时，求证：

已知数列满足,且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，记，证明：.

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.
（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.
求证：(1)是数列的母函数；
(2)求数列的前项和.
（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

已知数列的前项和，
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ) 令，求数列的前项和．

数列满足，（），是常数．
（Ⅰ）当时，求及的值；
（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．

已知数列是等差数列，
（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）如果，试写出数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

已知数列的前项和是二项式展开式中含奇次幂的系数和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的值．

已知数列，满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且．
① 记，求证：数列为等差数列；
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．

在数列中，是数列前项和，，当
（1）证明为等差数列；；
（2）设求数列的前项和；
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数，都有成立？若存在，
求出m 的最大值；若不存在，请说明理由。

已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求通项公式（2）设，求数列的前项和