某工厂建一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m³,深度为3m。如果池底每1 m²的造价为150元，池壁每1 m²的造价为120元，怎么设计水池能使造价最低？最低造价多少元？

已知,若恒成立,则实数的取值范围

已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C₁经过点P(2,2),以C₁上一点C₂为圆心的圆过定点A(0,1),记为圆与轴的两个交点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当圆心在抛物线上运动时,试判断是否为一定值？请证明你的结论;
(3)当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值．

阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.

已知椭圆的右准线，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；
（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．

图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，.
（1）求的长；
（2）试问在线段的何处时，达到最大.

证明以下不等式：
(1)已知，，求证：；
（2）若，，求证：.

为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．

已知函数f(x)＝，(x>0,)．
(1) 当a＝4时，求函数f(x)的最小值；
(2) 若函数>-x+4,求实数的取值范围

已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.