如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在直线BC₁上运动时，有下列三个命题：①三棱锥AD₁PC的体积不变；②直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；③二面角P-AD₁-C的大小不变．其中真命题的序号是________．

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①若l⊥α，m?α，则l⊥m；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③若l∥α，m?α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.
则其中正确命题的序号是________．

设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．
①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β
②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β
③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余

如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，是的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①⇒m⊥α；②⇒α⊥β；
③⇒m∥n；④⇒m∥n
其中为真命题的序号是________．

已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．

设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；
③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
上述命题中，所有真命题的序号是________．

已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：
①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；
②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；
④存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.
其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．