已知椭圆过和点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．

如图所示，、分别为椭圆：的左、右两个焦点，、为两个顶点，已知顶点到、两点的距离之和为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求椭圆上任意一点到右焦点的距离的最小值；
（3）作的平行线交椭圆于、两点，求弦长的最大值，并求取最大值时的面积.

已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点.

（Ⅰ）求、的方程；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）记的面积分别为，若，求的取值范围.

设椭圆C： (a>b>0)的离心率为，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k₁，直线PN的斜率为k₂，试探究k₁·k₂是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

已知椭圆 的离心率为 ，且过点

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若 ．
(i)求 的最值：
（i i）求证：四边形ABCD的面积为定值．

平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点 直线 交曲线E于M，N两点．
（Ⅰ）求曲线E的方程，并证明：MAN是一定值；
（Ⅱ）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值

已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在y轴上．
（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；
（2）求椭圆的标准方程．

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直线l交椭圆C与P，Q两点．
（Ⅰ）若k=1，椭圆C经过点（，1），直线l经过椭圆C的焦点和顶点，求椭圆方程；
（Ⅱ）若k=，b=1，且k_OP，k，k_OQ成等比数列，求三角形OPQ面积S的取值范围．