我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．

（1）求抛物线方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.

已知椭圆（＞＞0）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（ ，0），点（0，）在线段的垂直平分线上，且，求的值.

已知点在椭圆:上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，且，其中为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程;
（3）作直线与椭圆:交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围；
（3）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.

过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.

如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率e＝, M, N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？

已知定点A(－2,0)和B(2,0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.
（1）求曲线E的方程；
（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。

如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率e＝,M,N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x₀,y₀)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.