椭圆C₁:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C₂:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C₁分别交于C,D点,若S_△ACD=S_△PCD.

(1)求P点的坐标.
(2)能否使直线CD过椭圆C₁的右焦点,若能,求出此时双曲线C₂的离心率;若不能,请说明理由.

设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点，且|AB|＝，设O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过点(，0)作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁，l₂与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．

设点P是圆x²＋y²＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P₀，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.
若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围．

已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若圆x²＋y²＝的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P，离心率是.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l过点E (－1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l的方程．

已知椭圆M：＝1(a＞b＞0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值．

直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点,已知m=(ax₁,by₁),n=(ax₂,by₂),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l₁,l₂使得l₁,l₂与椭圆C都只有一个交点,且l₁,l₂分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l₁,l₂的方程;
②求证:|MN|为定值.