已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合与在第一和第四象限的交点分别为.
（1）若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
（2）若，求椭圆的离心率；
（3）点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．

抛物线的方程为，过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同)，且满足（且）．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；
（3）当=1时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围.

已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.
（1）若命题为真，求实数的取值范围；
（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．

动点到定点与到定直线,的距离之比为 ．
（1）求的轨迹方程；
（2）过点的直线（与x轴不重合）与（1）中轨迹交于两点、.探究是否存在一定点E(t，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

已知动圆过定点（1,0），且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和,①当时，求证直线恒过一定点；
②若为定值，直线是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

已知椭圆与的离心率相等. 直线与曲线交于两点（在的左侧），与曲线交于两点（在的左侧）,为坐标原点，．
（1）当=，时，求椭圆的方程；
（2）若，且和相似，求的值．

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为.过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8.过定点M(0，3)的直线l₁与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l₁的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点(2，)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．

如图X15－3所示，已知圆C₁：x²＋(y－1)²＝4和抛物线C₂：y＝x²－1，过坐标原点O的直线与C₂相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C₁相交于点D，E.

(1)求证：MA⊥MB；
(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，若＝λ，求λ的取值范围．