已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程.

）如图，椭圆：，、、、为椭圆的顶点

（Ⅰ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆方程；
（Ⅱ）已知:直线相交于，两点（不是椭圆的左右顶点），并满足 试研究：直线是否过定点？ 若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由

已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点距离的倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线,其中与相交于点,与相交于点,求四边形面积的取值范围.

（1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；
（ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

已知点（，是常数），且动点到轴的距离比到点的距离小.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）（i）已知点，若曲线上存在不同两点、满足，求实数的取值范围；
（ii）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）抛物线与椭圆有公共焦点，设与轴交于点，不同的两点、在 上（、与不重合），且满足，求的取值范围.

已知、分别是椭圆的左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为2，若
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程.

已知、分别是椭圆的左、右焦点，右焦点到上顶点的距离为2，若.
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于、两点（在第一象限内），又、是此椭圆上两点，并且满足，求证：向量与共线.

已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方，．

（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．

（1）若，求矩形ABCD面积；
（2）若，求矩形ABCD面积的最大值．